10 fatos do mundo bizarro da matemática infinita

No final do século XIX, o matemático alemão Georg Cantor descobriu a matemática “transfinita”, ou matemática além do infinito. Com este trabalho inicial, fomos apresentados a um mundo onde existem números maiores que o infinito e equações que não seguem as regras da aritmética do bom senso. Basta dizer que provavelmente não é o que você aprendeu no ensino médio.

O trabalho de Cantor foi inicialmente controverso e foi atacado de forma mordaz por algumas das figuras matemáticas mais importantes de sua época. No entanto, gradualmente passou a ser aceite como cânone e ajudou a pavimentar o caminho para a teoria dos conjuntos, que em si é uma base potencial para toda a matemática.

10 Infinito mais um (ou dois, ou infinito) é igual ao infinito

Acontece que esse velho ditado infantil tem algo a ver. Dada a natureza do infinito, qualquer número adicionado, subtraído, multiplicado ou dividido por ele é igual ao infinito. Isso é visto em um clássico quebra-cabeça do infinito conhecido como paradoxo do hotel de Hilbert:

Existe um hotel que tem um número infinito de quartos. Um viajante cansado chega e solicita um quarto, mas é informado de que todos os quartos estão ocupados. Como é que o hotel pode não ter mais quartos, já que tem infinitos quartos? O que o viajante deve fazer?

A resposta é que o viajante deve solicitar que a pessoa do quarto um se mude para o quarto dois, a pessoa do quarto dois se mude para o quarto três e assim por diante. . . e ela ocupa o quarto um. O infinito é infinitamente elástico e pode ser expandido ou reduzido de qualquer maneira para caber no que for necessário, seja um viajante ou um googolplex (sim, é um número real) de viajantes. ^[1]

9 Existem tantos números ímpares (e tantos números que terminam em 123 ou 423) quantos números

O infinito é tão maleável porque, como o hotel de Hilbert, qualquer série de números infinitos pode ser colocada no que é chamado de “correspondência um-para-um” com qualquer parte infinita dessa série. Em termos leigos, isso significa que se você pegar todos os números inteiros positivos (0, 1, 2, 3, 4…) e todos os números pares positivos (0, 2, 4, 6, 8…), cada um dos os números inteiros podem ser combinados com um número par. Portanto, zero pode ser combinado com zero, um pode ser combinado com dois, dois pode ser combinado com quatro e assim por diante.

Como as duas séries (ou “conjuntos”) de números correspondem para cada número, temos razão em dizer que elas são do mesmo tamanho. Chamado de paradoxo de Galileu em homenagem ao seu famoso descobridor, este experimento mental mostra que o tamanho do infinito não pode ser alterado usando as ferramentas rudimentares da aritmética básica, como a divisão ou a adição de números finitos. Para isso, você precisa de algo mais sofisticado. ^[2]

8 Alguns infinitos são maiores que outros

O outro lado da correspondência um-para-um é que se houver uma série infinita de números que ainda tenha números sobrando depois de ser combinada com outra série infinita, então podemos dizer que a primeira série de infinitos é na verdade maior que o infinito com o qual foi combinado. Isso pode parecer impossível, mas você provavelmente pode compreender intuitivamente um caso em que isso é verdade: o número infinito de números inteiros (0, 1, 2, 3…) é menor que o número infinito de números irracionais. Se você se lembra da matemática do ensino médio, números irracionais são números como pi que têm uma série de decimais que duram indefinidamente (3,1415…). Cantor mostrou que o número infinito de números irracionais é maior do que o número infinito de números inteiros usando um truque engenhoso, mas simples (em relação à maioria das provas matemáticas inovadoras). ^[3]

Ele começou presumindo que números irracionais poderiam ser combinados com números inteiros e escreveu uma série de números entre zero e um. (Ok, esses são meus próprios números aleatórios ao pressionar o teclado, mas você entendeu.) Há um número infinito dessas linhas:

0,1435. . . combinado com 0
0,7683 . . . combinado com 1
0,1982. . . combinado com 2
0,9837 . . . combinado com 3

E assim por diante. Você pode então criar um número desta série pegando o primeiro dígito na primeira linha, o segundo dígito na segunda linha e assim por diante; para os números acima, isso seria 0,1687. . .

Agora, pode haver um número de 0,1687. . . em algum lugar nesta pilha de números. No entanto, se você adicionar um a cada um dos dígitos, o número se tornará 0,2798. . . , e esse número não pode estar na pilha, pois é, por definição, diferente de qualquer um dos números da pilha em pelo menos um dígito. Portanto, ainda sobraram números irracionais depois de tentar combiná-los com números inteiros normais. Portanto, podemos dizer que o número infinito de números irracionais é maior que o número infinito de números inteiros.

Se você acha que isso é loucura , segure seu chapéu. . .

7 Existem infinitos níveis de infinitos

Cantor também mostrou que, assim como o número de números inteiros infinitos está em um nível de infinito totalmente diferente do número de números irracionais, há também um tipo de infinito que é maior que o número de números irracionais, um nível de infinito acima isso, outro acima daquele, e assim por diante, até (você adivinhou) o infinito. Além disso, qualquer nível de infinito adicionado a um nível superior de infinito soma automaticamente o nível superior de infinito, da mesma forma que infinito mais um é igual a infinito. ^[4]

A versão do Reader’s Digest sobre por que isso acontece é que você pode pegar uma série infinita de números (por exemplo, 0, 1, 2, 3…) e então fazer uma série infinita maior pegando o número de todos os números. diferentes combinações possíveis dos números da série original. Em matemática , isso é chamado de conjunto de potências. Portanto, para os números inteiros, o conjunto de potências incluiria não apenas 1, 2, 3 . . . mas também todas as combinações de números naquela série infinita de números, incluindo 1 bilhão e 1, 2, 13, 2 milhões. . . etc. Depois de fazer seu primeiro conjunto de potência, não há razão para que você não possa fazer um conjunto de potência do conjunto de potência, ou um conjunto de potência de um conjunto de potência de um conjunto de potência de um conjunto de potência. . . 

6 Tudo isso acabou deixando Georg Cantor louco

Como você pode imaginar, insistir demais em tudo isso pode afetar seu senso de realidade , e foi exatamente isso que aconteceu com seu descobridor. Cantor acreditava que o “próximo” nível de infinito depois dos números inteiros era o número de números irracionais; o único problema era que ele não conseguia provar isso.

Este famoso problema matemático, denominado hipótese do continuum (ele acabou de começar a dizer que Deus lhe revelou que a hipótese do continuum era verdadeira), combinado com os ataques cruéis ao seu trabalho, acabou por levar a um colapso psicológico, e ele passou o resto do seus dias dentro e fora de hospitais enquanto tentava provar que Francis Bacon escreveu as peças de Shakespeare . ^[5]

5 O problema que deixou Cantor louco é insolúvel

Algumas pessoas tentaram fornecer uma base rigorosa para a matemática usando uma série de axiomas, ou afirmações que são supostamente tão sensatas que podem ser confiáveis ​​sem qualquer explicação prévia. (Por exemplo, um não pode ser igual a dois. Por quê? Porque!)

Na década de 1960, o matemático Paul Cohen provou que a hipótese do contínuo é insolúvel se assumirmos que os axiomas mais comumente usados ​​são verdadeiros. No entanto, até hoje, o trabalho matemático continua a ser feito sob a suposição de que os axiomas são verdadeiros e que a hipótese do continuum é falsa , bem como a suposição inversa de que os axiomas convencionais são verdadeiros, bem como a hipótese do continuum. Os matemáticos consideram os diferentes pressupostos sobre a hipótese do contínuo como pertencentes a diferentes “universos matemáticos”, uma vez que não podemos provar que um ou outro é verdadeiro. ^[6]

4 O símbolo do infinito que Cantor escolheu é uma letra hebraica

Assim como os astrônomos e os biólogos, os matemáticos que descobrem algum conceito novo ou valor importante recebem pelo menos alguma contribuição sobre qual será seu nome. Dado esse tipo de poder, você pensaria que haveria mais personagens Klingon na matemática de alto nível hoje, mas não. Por mais criativos que sejam os matemáticos, quase nenhum deles quer se desviar dos símbolos gregos convencionais , e é por isso que diferentes letras gregas podem significar tantas coisas diferentes, dependendo do ramo da matemática que você está usando – simplesmente temos muito mais constantes matemáticas e conceitos do que as letras gregas.

Embora sua formação religiosa ainda seja debatida pelos historiadores, Cantor viu o que estava fazendo como uma forma de se aproximar do divino através da matemática, então decidiu que os diferentes níveis de infinito seriam simbolizados pela primeira letra do alfabeto hebraico: aleph. O conjunto de todos os números inteiros seria aleph-nada ou aleph com subscrito zero. O próximo maior infinito seria alef-um, que, como mencionamos, pode ou não ser o número de números irracionais. ^[7]

3 Existe um nível de infinito em que infinito mais um não é igual a um mais infinito

Além dos números Aleph, Cantor também criou números ômega. O primeiro número ômega é definido como o menor número maior que o número de números inteiros ou o primeiro número depois de aleph-nada. Retomando novamente o exemplo do hotel de Hilbert, se o número de quartos for aleph-zero, então o primeiro número ômega é um barraco fora do hotel . O próximo número ômega depois disso é simplesmente ômega mais um. O que isso significa, porém, é que um mais ômega é diferente de ômega mais um, já que aquele do primeiro seria simplesmente absorvido pelo ômega (já que o infinito é maleável), enquanto aquele após ômega representa o próximo passo. ^[8]

Infelizmente, compreender uma prova mais técnica disso substitui as habilidades do seu humilde intelecto de autor, mas eu li isso em um livro , então tem que ser verdade.

2 Infinito menos infinito não é igual a zero

Infinito menos infinito é indefinido da mesma forma que dividir por zero é indefinido.

Para dar um exemplo de por que isso acontece, já que infinito mais um é igual a infinito ([infinito + 1] = [infinito]), se subtrairmos o infinito de ambos os lados, ficaremos com 1 = 0. Da mesma forma, e para muitos dos pelas mesmas razões , o infinito dividido pelo infinito não é um, mas também é indefinido. ^[9]

1 Isso realmente tem aplicações científicas no mundo real

Como muitas outras áreas da matemática, descobriu-se que o que começou como um experimento mental puramente teórico tem implicações nas ciências exatas. Por exemplo, algumas equações da mecânica quântica somam infinito; na prática, os físicos ajustam a equação para tornar os cálculos factíveis, mas não está claro se isso é justificado, dado o que sabemos sobre matemática transfinita.

Na cosmologia, se o universo é infinitamente grande, se o espaço é infinitamente divisível, se o universo se expandirá para sempre ou se existem universos infinitos são questões em aberto que se baseiam na lógica infinita. ^[10] Alguns pesquisadores até encontraram aplicações do paradoxo do hotel de Hilbert tanto na óptica quântica quanto na óptica clássica.