Os paradoxos existem desde a época dos gregos antigos e o crédito de popularizá-los vai para os lógicos recentes. Usando a lógica, geralmente você pode encontrar uma falha fatal no paradoxo que mostra por que o aparentemente impossível é possível ou por que todo o paradoxo é construído sobre um pensamento falho. Todos vocês conseguem resolver os problemas de cada um dos 11 paradoxos mostrados aqui? Se sim, poste suas soluções ou falácias nos comentários.
O paradoxo afirma que se o ser pode realizar tais ações, então ele pode limitar a sua própria capacidade de realizar ações e, portanto, não pode realizar todas as ações, mas, por outro lado, se não pode limitar as suas próprias ações, então isto é – diretamente desligado – algo que não pode fazer. Isto parece implicar que a capacidade de um ser omnipotente se limitar significa necessariamente que ele irá, de facto, limitar-se. Este paradoxo é frequentemente formulado em termos do Deus das religiões abraâmicas, embora isto não seja um requisito. Uma versão do paradoxo da onipotência é o chamado paradoxo da pedra: “Será que um ser onipotente poderia criar uma pedra tão pesada que nem mesmo esse ser conseguiria levantá-la?” Se assim for, então parece que o ser poderia deixar de ser onipotente; caso contrário, parece que o ser não era onipotente para começar. Uma resposta ao paradoxo é que ter uma fraqueza, como uma pedra que não consegue levantar, não se enquadra na onipotência, uma vez que a definição de onipotência implica não ter fraquezas.
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O paradoxo é o seguinte: considere um monte de areia do qual os grãos são retirados individualmente. Poderíamos construir o argumento, usando premissas, da seguinte forma:
1.000.000 de grãos de areia é um monte de areia. (Premissa 1)
Um monte de areia menos um grão ainda é um monte. (Premissa 2)
Aplicações repetidas da Premissa 2 (cada vez começando com um grão a menos) eventualmente forçam alguém a aceitar a conclusão de que uma pilha pode ser composta de apenas um grão de areia.
À primeira vista, existem algumas maneiras de evitar essa conclusão. Pode-se objetar à primeira premissa negando que 1.000.000 de grãos de areia formam uma pilha. Mas 1.000.000 é apenas um número arbitrariamente grande, e o argumento será válido com qualquer número desse tipo. Portanto, a resposta deve negar abertamente que existam coisas como montes. Peter Unger defende esta solução. Alternativamente, pode-se objetar à segunda premissa afirmando que não é verdade para todas as coleções de grãos que a remoção de um grão ainda forma uma pilha. Ou podemos aceitar a conclusão insistindo que um monte de areia pode ser composto de apenas um grão.
Afirmação: Não existe número natural desinteressante.
Prova por Contradição: Suponha que você tenha um conjunto não vazio de números naturais que não são interessantes. Devido à propriedade de boa ordenação dos números naturais, deve haver algum número menor no conjunto dos números não interessantes. Ser o menor número de um conjunto que se pode considerar não interessante torna esse número interessante. Como os números deste conjunto foram definidos como não interessantes, chegámos a uma contradição porque este menor número não pode ser ao mesmo tempo interessante e desinteressante. Portanto, o conjunto dos números desinteressantes deve estar vazio, provando que não existe número desinteressante.
No paradoxo da flecha, Zenão afirma que para que o movimento ocorra, um objeto deve mudar a posição que ocupa. Ele dá um exemplo de uma flecha em voo. Ele afirma que, em qualquer instante de tempo, para que a flecha se mova, ela deve mover-se para onde está ou deve mover-se para onde não está. Não pode mover-se para onde não está, porque este é um instante único, e não pode mover-se para onde está, porque já está lá. Em outras palavras, em qualquer instante de tempo não ocorre movimento, porque um instante é um instantâneo. Portanto, se não pode mover-se num único instante, não pode mover-se em nenhum instante, tornando qualquer movimento impossível. Este paradoxo também é conhecido como paradoxo do fletcher – um fletcher sendo um fabricante de flechas.
Enquanto os dois primeiros paradoxos apresentados dividem o espaço, este paradoxo começa por dividir o tempo – e não em segmentos, mas em pontos.
No paradoxo de Aquiles e a tartaruga, Aquiles está numa corrida a pé com a tartaruga. Aquiles permite à tartaruga uma vantagem inicial de 30 metros. Se supormos que cada corredor começa a correr a uma velocidade constante (uma muito rápida e outra muito lenta), então, após algum tempo finito, Aquiles terá corrido 30 metros, levando-o ao ponto de partida da tartaruga. Durante esse tempo, a tartaruga percorreu uma distância muito menor, digamos, 3 metros. Aquiles levará então mais algum tempo para percorrer essa distância, momento em que a tartaruga terá avançado mais; e depois mais tempo para chegar a esse terceiro ponto, enquanto a tartaruga avança. Assim, sempre que Aquiles chega a algum lugar onde a tartaruga esteve, ele ainda tem um longo caminho a percorrer. Portanto, como há um número infinito de pontos que Aquiles deve alcançar onde a tartaruga já esteve, ele nunca poderá alcançá-la. É claro que a experiência simples nos diz que Aquiles conseguirá ultrapassar a tartaruga, razão pela qual isto é um paradoxo.
[JFrater: Vou apontar o problema deste paradoxo para dar a todos vocês uma ideia de como os outros podem estar errados: na realidade física é impossível atravessar o infinito – como você pode ir de um ponto no infinito a outro sem cruzar uma infinidade de pontos? Você não pode – portanto, é impossível. Mas em matemática não é. Este paradoxo mostra-nos como a matemática pode parecer provar alguma coisa – mas, na realidade, falha. Portanto, o problema deste paradoxo é que ele aplica regras matemáticas a uma situação não matemática. Isso o torna inválido.]
Esta é uma descrição figurativa de um homem indeciso. Refere-se a uma situação paradoxal em que um burro, colocado exactamente no meio entre duas pilhas de feno de igual tamanho e qualidade, morrerá de fome, uma vez que não pode tomar qualquer decisão racional de começar a comer uma em vez de outra. O paradoxo tem o nome do filósofo francês do século XIV, Jean Buridan. O paradoxo não foi originado pelo próprio Buridan. É encontrado pela primeira vez em De Caelo, de Aristóteles, onde Aristóteles menciona o exemplo de um homem que permanece imóvel porque tem tanta fome quanto sede e está posicionado exatamente entre a comida e a bebida. Escritores posteriores satirizaram esta visão em termos de um burro que, confrontado com dois fardos de feno igualmente desejáveis e acessíveis, deve necessariamente morrer de fome enquanto pondera uma decisão.
Um juiz diz a um prisioneiro condenado que ele será enforcado ao meio-dia de um dia da semana da semana seguinte, mas que a execução será uma surpresa para o prisioneiro. Ele não saberá o dia do enforcamento até que o carrasco bata na porta de sua cela, ao meio-dia daquele dia. Depois de refletir sobre a sentença, o preso chega à conclusão de que escapará do enforcamento. Seu raciocínio está dividido em várias partes. Começa por concluir que o “enforcamento surpresa” não pode ser numa sexta-feira, como se não tivesse sido enforcado até quinta-feira, falta apenas um dia – e por isso não será surpresa se for enforcado numa sexta-feira. Sexta-feira. Como a sentença do juiz estipulou que o enforcamento seria uma surpresa para ele, ele conclui que não pode ocorrer na sexta-feira. Ele então argumenta que o enforcamento surpresa também não pode ser na quinta-feira, porque a sexta-feira já foi eliminada e se ele não for enforcado até quarta-feira à noite, o enforcamento deve ocorrer na quinta-feira, fazendo com que o enforcamento na quinta-feira também não seja uma surpresa. Por raciocínio semelhante conclui que o enforcamento também não pode ocorrer na quarta, terça ou segunda-feira. Alegremente, ele se retira para sua cela, confiante de que o enforcamento não ocorrerá. Na semana seguinte, o carrasco bate à porta do preso ao meio-dia de quarta-feira – o que, apesar de tudo isso, ainda será uma surpresa total para ele. Tudo o que o juiz disse se tornou realidade.
Suponha que haja uma cidade com apenas um barbeiro; e que todos os homens da cidade se mantenham barbeados: alguns barbeando-se, outros indo ao barbeiro. Parece razoável imaginar que o barbeiro obedece à seguinte regra: ele faz a barba de todos e apenas dos homens da cidade que não se barbeiam.
Nesse cenário, podemos fazer a seguinte pergunta: O barbeiro faz a barba sozinho?
Perguntando isso, porém, descobrimos que a situação apresentada é de fato impossível:
– Se o barbeiro não se barbeia, ele deve cumprir a regra e fazer a barba sozinho.
– Se ele se barbear, de acordo com a regra ele não se barbeará
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Este paradoxo surge da afirmação em que Epimênides, contra o sentimento geral de Creta, propôs que Zeus era imortal, como no seguinte poema:
Eles construíram uma tumba para ti, ó santo e elevado.
Os cretenses, sempre mentirosos, bestas malignas, barrigas ociosas!
Mas tu não estás morto: tu vives e permaneces para sempre,
pois em ti vivemos, nos movemos e existimos.
Ele não sabia, no entanto, que, ao chamar todos os cretenses de mentirosos, ele havia, involuntariamente, chamado a si mesmo de mentirosos, embora o que ele “queria dizer” fosse todos os cretenses, exceto ele mesmo. Assim surge o paradoxo de que se todos os cretenses são mentirosos, ele também o é, e se ele é mentiroso, então todos os cretenses são verdadeiros. Então, se todos os cretenses são verdadeiros, então ele próprio está falando a verdade e se ele está falando a verdade, todos os cretenses são mentirosos. Assim continua a regressão infinita.
O Paradoxo da Corte é um problema de lógica muito antigo, originado na Grécia antiga. Diz-se que o famoso sofista Protágoras contratou um aluno, Euathlus, no entendimento de que o aluno pagasse a Protágoras pela sua instrução depois de ter ganho o seu primeiro caso (em algumas versões: se e só se Euathlus ganhasse o seu primeiro processo judicial). Alguns relatos afirmam que Protágoras exigiu o seu dinheiro assim que Euathlus completou a sua educação; outros dizem que Protágoras esperou até que fosse óbvio que Euathlus não estava fazendo nenhum esforço para conseguir clientes e outros ainda afirmam que Euathlus fez uma tentativa genuína, mas nenhum cliente jamais apareceu. De qualquer forma, Protágoras decidiu processar Euathlus pelo valor devido.
Protágoras argumentou que, se ganhasse o caso, receberia o seu dinheiro. Se Euathlus ganhasse o caso, Protágoras ainda seria pago de acordo com o contrato original, porque Euathlus teria vencido o seu primeiro caso.
Euathlus, entretanto, alegou que se ganhasse, por decisão do tribunal, não teria que pagar a Protágoras. Se, por outro lado, Protágoras ganhasse, Euathlus ainda não teria ganho o caso e, portanto, não seria obrigado a pagar. A questão é: qual dos dois homens está certo?
O paradoxo da força irresistível, também o paradoxo da força imparável, é um paradoxo clássico formulado como “O que acontece quando uma força irresistível encontra um objeto imóvel?” O paradoxo deve ser entendido como um exercício de lógica, não como a postulação de uma realidade possível. De acordo com o entendimento científico moderno, nenhuma força é completamente irresistível, e não existem objetos imóveis e não pode haver nenhum, pois mesmo uma força minúscula causará uma ligeira aceleração em um objeto de qualquer massa. Um objeto imóvel teria que ter uma inércia infinita e, portanto, massa infinita. Tal objeto entraria em colapso sob sua própria gravidade e criaria uma singularidade. Uma força imparável exigiria energia infinita, que não existe num universo finito.
Na astrofísica e na cosmologia física, o paradoxo de Olbers é o argumento de que a escuridão do céu noturno entra em conflito com a suposição de um universo estático infinito e eterno. É uma das evidências de um universo não estático como o atual modelo do Big Bang. O argumento também é conhecido como “paradoxo do céu noturno escuro”. O paradoxo afirma que, em qualquer ângulo da Terra, a linha de visão terminará na superfície de uma estrela. Para entender isso, comparamos isso a estar numa floresta de árvores brancas. Se em algum momento a visão do observador terminasse na superfície de uma árvore, o observador não veria apenas o branco? Isto contradiz a escuridão do céu noturno e leva muitos a se perguntarem por que não vemos apenas a luz das estrelas no céu noturno.
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