O fato mais conhecido sobre pi – normalmente arredondado para 3,14159 – é que ele representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Pi também é um número irracional, portanto não pode ser escrito como uma fração simples. Portanto, pi é um decimal infinitamente longo e não repetitivo, o que o torna um dos números mais interessantes e misteriosos conhecidos pelo homem.
10 Primeiro Cálculo
Acredita-se que o primeiro cálculo do pi tenha sido obtido por Arquimedes de Siracusa por volta de 220 a.C .. Arquimedes derivou a fórmula A = pi r 2 aproximando a área de um círculo com base na área de um polígono regular inscrito no círculo e na área de um polígono dentro do qual o círculo foi circunscrito. Os dois polígonos, portanto, forneceram os limites superior e inferior para a área de um círculo – permitindo a Arquimedes estimar que a peça que faltava no quebra-cabeça (pi) estava em algum lugar entre 3 1/7 e 3 10/71.
O proeminente matemático e astrônomo chinês Zu Chongzi (429–501) calculou mais tarde que Pi era 355/113, embora a forma exata como ele conseguiu atingir essa medição incrivelmente precisa permaneça um mistério, uma vez que não há registros de seu trabalho.
9 A verdadeira área de um círculo é incognoscível
Johann Heinrich Lambert, no século XVIII, provou que pi é irracional – não pode ser expresso como uma fração baseada em números inteiros. Os números racionais sempre podem ser escritos como uma fração, na qual tanto o numerador quanto o denominador são números inteiros. Embora possa ser tentador ver pi como uma simples razão entre circunferência/diâmetro (pi=C/D), sempre será o caso de que, se o diâmetro for um número inteiro, a circunferência não será um número inteiro e vice-versa.
A irracionalidade de pi significa que nunca poderemos conhecer verdadeiramente a circunferência (e subsequentemente a área) de um círculo. Este facto frustrante, mas aparentemente inevitável, levou alguns matemáticos a insistir que é mais correcto pensar num círculo como tendo um número infinito de pequenos cantos, em vez de pensar num círculo como sendo “liso”.
8 Agulha de Buffon
Chamada pela primeira vez à atenção de geômetras e matemáticos em 1777, a agulha de Buffon é um dos problemas mais antigos e intrigantes no campo da probabilidade geométrica. Veja como funciona.
Se você deixar cair uma agulha de uma unidade de comprimento em uma folha de papel com linhas separadas pela mesma unidade de comprimento, a probabilidade de a agulha cruzar uma das linhas da página está diretamente relacionada ao valor de pi.
Existem duas variáveis envolvidas na queda da agulha: 1) o ângulo em que a agulha cai e 2) a distância do centro da agulha até a linha mais próxima. O ângulo pode variar de 0 a 180 graus e é medido contra uma linha paralela às linhas do papel.
Acontece que a probabilidade de a agulha pousar e cortar uma linha é exatamente 2/pi, ou cerca de 64 por cento. Isso significa que pi poderia ser teoricamente calculado usando essa técnica se alguém tivesse paciência suficiente para passar por testes suficientes, mesmo que o experimento pareça não ter nada a ver com círculos, ou mesmo com arestas arredondadas.
Isso pode ser um pouco difícil de imaginar, então experimente você mesmo o fenômeno aqui .
7 Pi e o problema da fita
Imagine que você pega uma fita e envolve a Terra com ela. (Vamos supor, para simplificar, que a Terra seja uma esfera perfeita com uma circunferência de 40.000 quilômetros.) Agora, tente determinar o comprimento necessário de uma fita que possa envolver a Terra a uma distância de uma polegada acima de sua superfície. Se você acredita instintivamente que a segunda fita precisaria ser significativamente mais longa que a primeira, você não estaria sozinho. Você estaria, no entanto, errado. Na verdade, o comprimento da segunda fita aumentaria apenas 2pi, ou cerca de 6,28 polegadas.
Veja como essa confusão se desfaz: novamente, supondo que a Terra seja uma esfera perfeita, ela pode ser pensada como um círculo gigante com uma circunferência de 40.000 quilômetros no equador. Isso significa que o raio seria 24.900/2pi, ou aproximadamente 3.963 milhas. Agora, a segunda fita adicionada pairando uma polegada acima da superfície da Terra teria um raio uma polegada maior que o da Terra, levando à equação C = 2 Pi(r+1), que é equivalente a C = 2 Pi(r ) + 2Pi. A partir disso, podemos dizer que a circunferência da segunda fita aumentará 2pi. Na verdade, não importa qual seja o raio original (seja o da Terra ou o de uma bola de basquete), aumentar o raio em uma polegada sempre levará a um aumento de 2pi (apenas 6,28 polegadas) na circunferência.
6 Navegação
Pi desempenha um papel proeminente na navegação, especialmente quando se trata de posicionamento global em grande escala. Como os humanos são muito pequenos em comparação com a Terra, tendemos a pensar nas viagens como sendo lineares. No entanto, quando os aviões voam, eles estão obviamente voando em um arco de círculo. A trajetória de voo, portanto, deve ser calculada como tal para avaliar com precisão o tempo de viagem, o uso de combustível, etc. Além disso, quando você se localiza na Terra usando um dispositivo GPS, pi deve desempenhar um papel importante nesses cálculos.
Então, e a navegação que exige precisão ainda mais exata em distâncias ainda maiores do que um voo de Nova York a Tóquio? Susan Gomez, gerente do subsistema de Orientação, Navegação e Controle da Estação Espacial Internacional (GNC) da NASA, revela que a maioria dos cálculos que a NASA executa envolvendo pi usam 15 ou 16 dígitos , especialmente quando cálculos superprecisos são necessários para o Posicionamento Global Integrado no Espaço. Sistema/Sistema de Navegação Inercial (SIGI) — o programa que controla e estabiliza naves espaciais durante missões.
5 Processamento de Sinal e Transformada de Fourier
Embora pi seja mais conhecido por fazer medições geométricas, como calcular a área de um círculo, ele também desempenha um papel proeminente no processamento de sinais, principalmente por meio de uma operação conhecida como transformada de Fourier, que converte um sinal em um espectro de frequência. A transformada de Fourier é chamada de “representação no domínio da frequência” do sinal original, pois se refere tanto ao domínio da frequência quanto à operação matemática que associa o domínio da frequência a uma função do tempo.
Tanto os humanos quanto a tecnologia aproveitam esse fenômeno sempre que um sinal precisa de uma conversão básica, como quando o seu iPhone recebe uma mensagem de uma torre de celular ou quando o seu ouvido faz uma distinção entre sons de tons diferentes. Pi, que aparece com destaque na fórmula da transformada de Fourier, desempenha um papel fundamental, embora um tanto misterioso, no processo de conversão, pois reside no expoente do Número de Euler (a famosa constante matemática igual a 2,71828…)
Isso significa que toda vez que você faz uma ligação no celular ou ouve um sinal de transmissão, você tem pi para agradecer parcialmente.
4 Distribuição normal de probabilidade
Embora se espere que pi seja encontrado em operações como a transformada de Fourier, que lida principalmente com sinais (e posteriormente com ondas), pode ser surpreendente descobrir que pi desempenha um papel importante na fórmula da distribuição normal de probabilidade. Sem dúvida você já se deparou com essa distribuição notória antes – ela está envolvida em uma ampla gama de fenômenos que vemos acontecer regularmente, desde lançamentos de dados até resultados de testes.
Sempre que você vir pi escondido em uma equação complexa, presuma que um círculo está escondido em algum lugar da estrutura matemática. No caso da distribuição de probabilidade normal, pi é entregue através da integral gaussiana (também conhecida como integral de Euler-Poisson), que apresenta a raiz quadrada de pi. Na verdade, bastam pequenas mudanças nas variáveis da integral gaussiana para calcular a constante de normalização da distribuição normal.
Uma aplicação comum, mas contra-intuitiva, da integral gaussiana envolve “ruído branco”, uma variável aleatória normalmente distribuída usada para prever tudo, desde rajadas de vento em um avião até vibrações de feixes durante construções em grande escala.
3 Rios sinuosos
Pi tem uma relação fascinante e inesperada com rios sinuosos. O caminho de um rio é descrito principalmente por sua sinuosidade – sua tendência a serpentear de um lado para o outro enquanto atravessa uma planície. Isso pode ser descrito matematicamente como o comprimento de seu caminho sinuoso dividido pelo comprimento do rio, desde sua nascente até sua foz. Acontece que, independentemente do comprimento do rio, ou de quantas curvas ele dá ao longo de seu caminho, o rio médio tem uma sinuosidade de aproximadamente pi.
Albert Einstein fez várias observações sobre por que os rios tendem a se comportar dessa maneira. Ele notou que a água flui mais rápido na parte externa da curva do rio, levando a uma erosão mais rápida ao redor da margem, o que por sua vez cria uma curva maior. Essas curvas maiores se encontram, fazendo com que o rio forme uma conexão de “atalho”. Este movimento de vaivém parece corrigir-se constantemente à medida que a sinuosidade do rio volta em direção a pi.
2 Pi e a sequência de Fibonacci
Ao longo da maior parte da história, houve apenas dois métodos usados para calcular pi, um inventado por Arquimedes e outro pelo matemático escocês James Gregory.
Acontece, porém, que pi também pode ser calculado usando a sequência de Fibonacci. Cada número subsequente na sequência de Fibonacci é a soma dos dois números anteriores. A sequência começa com 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e continua infinitamente. E como o arco tangente de 1 é pi/4, isso significa que pi pode ser expresso em termos de números de Fibonacci, reorganizando a equação para ser arctan(1)*4=pi .
Além de ser um conjunto de números inerentemente fascinante e belo, a sequência de Fibonacci desempenha um papel importante em uma variedade de ocorrências naturais em todo o cosmos. Pode modelar ou descrever uma incrível variedade de fenômenos, em matemática e ciências, arte e natureza. As ideias matemáticas às quais a sequência de Fibonacci conduz – como a proporção áurea, espirais e curvas – são há muito apreciadas pela sua beleza, mas os matemáticos ainda lutam para explicar a profundidade da ligação.
1 Mecânica quântica
Pi é, sem dúvida, um elemento básico inevitável e complexo do nosso mundo, mas e o universo em geral? Pi se manifesta em todo o universo e está de fato envolvido nas próprias equações que procuram explicar a natureza do cosmos. Na verdade, muitas fórmulas usadas no domínio da mecânica quântica, que governa o mundo microscópico dos átomos e núcleos, usam pi .
Talvez a mais famosa dessas equações sejam as equações de campo de Einstein (também conhecidas simplesmente como equações de Einstein) – um conjunto de 10 equações na teoria geral da relatividade de Einstein que descrevem a interação fundamental da gravitação como resultado da curvatura do espaço-tempo pela massa. e energia. A quantidade de gravidade presente em um sistema é proporcional à quantidade de energia e momento, sendo a constante de proporcionalidade relacionada a G, uma constante numérica.
