Muitas pessoas ficam desanimadas com os símbolos obscuros e as regras rígidas da matemática, desistindo de um problema assim que veem números e letras envolvidas. Mas embora a matemática às vezes possa ser densa e difícil, os resultados que ela pode provar às vezes são lindos, estonteantes ou simplesmente inesperados. Resultados como:
O Teorema das 4 Cores foi descoberto pela primeira vez em 1852 por um homem chamado Francis Guthrie, que na época estava tentando colorir um mapa de todos os condados da Inglaterra (isso foi antes da invenção da Internet, não havia muito o que fazer). fazer). Ele descobriu algo interessante: só precisava de no máximo quatro cores para garantir que nenhum condado que compartilhasse uma fronteira tivesse a mesma cor. Guthrie se perguntou se isso era verdade ou não para algum mapa, e a questão tornou-se uma curiosidade matemática que permaneceu sem solução durante anos.
Em 1976 (mais de um século depois), este problema foi finalmente resolvido por Kenneth Appel e Wolfgang Haken. A prova que encontraram foi bastante complexa e baseou-se em parte num computador, mas afirma que em qualquer mapa político (digamos dos Estados) apenas são necessárias quatro cores para colorir cada Estado individual, de modo que nenhum Estado da mesma cor esteja sempre em contato.
Este teorema vem de um ramo da matemática conhecido como Topologia e foi descoberto por Luitzen Brouwer. Embora a sua expressão técnica seja bastante abstrata, tem muitas implicações fascinantes no mundo real. Digamos que temos uma foto (por exemplo, a Mona Lisa) e tiramos uma cópia dela. Podemos então fazer o que quisermos com esta cópia – aumentá-la, diminuí-la, girá-la, amassá-la, qualquer coisa. O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer diz que se colocarmos esta cópia por cima da nossa imagem original, deve haver pelo menos um ponto na cópia que esteja exatamente acima do mesmo ponto no original. Pode ser parte do olho, da orelha ou de um possível sorriso de Mona, mas tem que existir.
Isso também funciona em três dimensões: imagine que temos um copo d’água, pegamos uma colher e mexemos o quanto quisermos. Pelo teorema de Brouwer, haverá pelo menos uma molécula de água que está exatamente no mesmo lugar que estava antes de começarmos a mexer.
Na virada do século 20, muitas pessoas ficaram fascinadas por um novo ramo da matemática chamado Teoria dos Conjuntos (que abordaremos um pouco mais adiante nesta lista). Basicamente, um conjunto é uma coleção de objetos. A ideia da época era que qualquer coisa poderia ser transformada em um conjunto: o conjunto de todos os tipos de frutas e o conjunto de todos os presidentes dos EUA eram ambos completamente válidos. Além disso, e isto é importante, os conjuntos podem conter outros conjuntos (como o conjunto de todos os conjuntos na frase anterior). Em 1901, o famoso matemático Bertrand Russell causou grande impacto quando percebeu que esta forma de pensar tinha uma falha fatal: nomeadamente, nada pode ser transformado num conjunto.
Russell decidiu ser meta sobre as coisas e descreveu um conjunto que continha todos aqueles conjuntos que não se contêm. O conjunto de todas as frutas não contém a si mesmo (o júri ainda não decidiu se contém tomates), portanto pode ser incluído no conjunto de Russell, junto com muitos outros. Mas e o próprio conjunto de Russell? Ele não contém a si mesmo, então certamente deveria ser incluído também. Mas espere… agora ele SE contém, então naturalmente temos que retirá-lo. Mas agora temos que colocá-lo de volta… e assim por diante. Este paradoxo lógico causou uma reforma completa da Teoria dos Conjuntos, um dos ramos mais importantes da matemática hoje.
Lembra do teorema de Pitágoras da escola? Tem a ver com triângulos retângulos e diz que a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado do lado mais longo (x ao quadrado + y ao quadrado = z ao quadrado). O teorema mais famoso de Pierre de Fermat é que esta mesma equação não é verdadeira se você substituir o quadrado por qualquer número maior que 2 (você não poderia dizer x ao cubo + y ao cubo = z ao cubo, por exemplo), desde que x, y, e z são números inteiros positivos.
Como escreveu o próprio Fermat: “Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, que esta margem é demasiado estreita para conter”. Isso é realmente uma pena, porque embora Fermat tenha colocado esse problema em 1637, ele não foi comprovado por um bom tempo. E por um tempo, quero dizer que foi provado em 1995 (358 anos depois) por um homem chamado Andrew Wiles.
É justo supor que a maioria dos leitores deste artigo sejam seres humanos. Sendo humanos, esta entrada será particularmente preocupante: a matemática pode ser usada para determinar quando a nossa espécie extinguir-se . Usando probabilidade, de qualquer maneira.
O argumento (que existe há cerca de 30 anos e foi descoberto e redescoberto algumas vezes) basicamente diz que o tempo da humanidade está quase acabando. Uma versão do argumento (atribuída ao astrofísico J. Richard Gott) é surpreendentemente simples: se considerarmos que o tempo de vida completo da espécie humana é uma linha temporal desde o nascimento até à morte, então podemos determinar onde estamos agora nessa linha temporal.
Como agora é apenas um ponto aleatório em nossa existência como espécie, podemos dizer com 95% de precisão que estamos nos 95% intermediários da linha do tempo, em algum lugar. Se dissermos que neste momento estamos exatamente a 2,5% da existência humana, teremos a maior esperança de vida. Se dissermos que já temos 97,5% de existência humana, isso nos dá a menor expectativa de vida. Isso nos permite obter uma estimativa da expectativa de vida da raça humana. De acordo com Gott, há 95% de chance de que os seres humanos morram em algum momento entre 5.100 anos e 7,8 milhões de anos a partir de agora. Então aí está, humanidade – é melhor entrar nessa lista de desejos.
Outra parte da matemática que você deve lembrar da escola é a geometria, que é a parte da matemática em que rabiscar suas anotações era o ponto principal. A geometria com a qual a maioria de nós está familiarizada é chamada de geometria euclidiana e é baseada em cinco verdades ou axiomas bastante simples e evidentes. É a geometria regular de linhas e pontos que podemos desenhar num quadro negro, e durante muito tempo foi considerada a única forma de a geometria funcionar.
O problema, porém, é que as verdades evidentes que Euclides delineou há mais de 2.000 anos não eram tão evidentes para todos. Houve um axioma (conhecido como postulado das paralelas) que nunca agradou aos matemáticos e, durante séculos, muitas pessoas tentaram conciliá-lo com os outros axiomas. No início do século XVIII, foi tentada uma abordagem nova e ousada: o quinto axioma foi simplesmente alterado para outra coisa. Em vez de destruir todo o sistema de geometria, foi descoberto um novo, que agora é chamado de geometria hiperbólica (ou Bolyai-Lobachevskiana). Isto causou uma mudança completa de paradigma na comunidade científica e abriu as portas para muitos tipos diferentes de geometria não-euclidiana. Um dos tipos mais proeminentes é a chamada geometria Riemanniana , que é usada para descrever nada menos que a Teoria da Relatividade de Einstein (o nosso universo, curiosamente, não obedece à geometria euclidiana!).
A Fórmula de Euler é um dos resultados mais poderosos desta lista e se deve a um dos matemáticos mais prolíficos que já existiu, Leonhard Euler. Ele publicou mais de 800 artigos ao longo de sua vida – muitos deles enquanto era cego.
Seu resultado parece bastante simples à primeira vista: e^(i*pi)+1=0. Para quem não sabe, tanto e quanto pi são constantes matemáticas que surgem em todos os tipos de lugares inesperados, e i representa a unidade imaginária, um número igual à raiz quadrada de -1. O que é notável na Fórmula de Euler é como ela consegue combinar cinco dos números mais importantes de toda a matemática (e, i, pi, 0 e 1) em uma equação tão elegante. Foi chamada pelo físico Richard Feynman de “a fórmula mais notável da matemática”, e a sua importância reside na sua capacidade de unificar múltiplos aspectos da matemática.
Vivemos em um mundo dominado por computadores. Você está lendo esta lista em um computador agora mesmo! Escusado será dizer que os computadores são uma das invenções mais importantes do século XX, mas poderá surpreendê-lo saber que a sua essência começa no domínio da matemática teórica.
O matemático (e também decifrador de códigos da Segunda Guerra Mundial) Alan Turing desenvolveu um objeto teórico chamado Máquina de Turing. Uma Máquina de Turing é como um computador muito básico: ela usa uma sequência infinita de fita e 3 símbolos (digamos 0, 1 e espaço em branco) e então opera com um conjunto de instruções. As instruções podem ser alterar 0 para 1 e mover um espaço para a esquerda ou preencher um espaço em branco e mover um espaço para a direita (por exemplo). Desta forma, uma Máquina de Turing poderia ser usada para executar qualquer função bem definida.
Turing então descreveu uma Máquina de Torno Universal, que é uma Máquina de Turing que pode imitar qualquer Máquina de Turing com qualquer entrada. Este é essencialmente o conceito de um computador com programa armazenado. Usando nada além de matemática e lógica, Turing criou o campo da ciência da computação anos antes de a tecnologia ser sequer possível para projetar um computador real.
O infinito já é um conceito bastante difícil de entender. Os humanos não foram feitos para compreender o infinito e por essa razão o Infinito sempre foi tratado com cautela pelos matemáticos. Foi só na segunda metade do século XIX que Georg Cantor desenvolveu o ramo da matemática conhecido como Teoria dos Conjuntos (lembra-se do paradoxo de Russell?), uma teoria que lhe permitiu ponderar a verdadeira natureza do Infinito. E o que ele descobriu foi verdadeiramente incompreensível.
Acontece que sempre que imaginamos o infinito, há sempre um tipo diferente de infinito que é maior do que isso. O nível mais baixo de infinito é a quantidade de números inteiros (1,2,3…), e é um infinito contável . Com um raciocínio muito elegante, Cantor determinou que existe outro nível de infinito depois disso, o infinito de todos os Números Reais (1, 1,001, 4,1516…basicamente qualquer número que você possa imaginar). Esse tipo de infinito é incontável, o que significa que mesmo que você tivesse todo o tempo do universo, nunca poderia listar todos os números reais em ordem sem perder alguns. Mas espere – acontece que há ainda mais níveis de infinito incontável depois disso. Quantos? Um número infinito, é claro.
Em 1931, o matemático austríaco Kurt Gödel provou dois teoremas que abalaram profundamente o mundo da matemática, porque juntos mostraram algo bastante desanimador: a matemática não é, e nunca será, completa.
Sem entrar em detalhes técnicos, Gödel mostrou que em qualquer sistema formal (como um sistema de números naturais), existem certas afirmações verdadeiras sobre o sistema que não podem ser provadas pelo próprio sistema. Fundamentalmente, ele mostrou que é impossível que um sistema axiomático seja completamente autossuficiente, o que ia contra todas as suposições matemáticas anteriores. Nunca haverá um sistema fechado que contenha toda a matemática – apenas sistemas que se tornam cada vez maiores à medida que tentamos, sem sucesso, torná-los completos.
