Há muitas coisas que não sabemos; pessoalmente sou uma verdadeira cornucópia de ignorância. Mas há uma diferença entre coisas que não sabemos e coisas que não podem ser conhecidas. Por exemplo, ninguém sabe quando Shakespeare nasceu (embora saibamos quando ele foi batizado). No entanto, não é impossível que no futuro possamos descobrir – um documento há muito perdido que mencione o seu nascimento pode ser encontrado, por isso a verdadeira data de nascimento de Shakespeare não é incognoscível, apenas desconhecida. Esta lista contém 10 coisas que, em princípio, são incognoscíveis. Não só são desconhecidos agora, como nunca poderão ser conhecidos.
A maioria deles é matemática; Tentei torná-lo o mais não técnico possível – além de tudo, não sou matemático, então tentei simplificar o suficiente para poder entendê-lo.
Coisa Incognoscível: O que há em um conjunto de conjuntos que não se contém?
Temos que fazer um pouco de matemática para vários desses itens! Este é o primeiro da lista porque, de certa forma, o conceito de “incognoscível” começa com este paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901.
Vamos começar com a ideia de um conjunto. Um conjunto é uma coleção de objetos – por exemplo, você poderia ter o conjunto de números pares positivos que contém 2, 4, 6, 8… ou o conjunto de números primos contendo 2, 3, 5, 7, 11… até agora bom.
Os conjuntos podem conter outros conjuntos? Sim, não há problema – você poderia ter um conjunto de conjuntos que contém outros conjuntos – e esse conjunto, obviamente, conteria a si mesmo. Na verdade, você pode dividir os conjuntos em dois tipos – aqueles que contêm a si mesmos e aqueles que não contêm.
Então, considere um conjunto (S, digamos) de conjuntos que não se contêm. S contém a si mesmo? Se estiver, então não deveria estar no conjunto, mas se não estiver, então deveria. Portanto, S está continuamente entrando e saindo de si mesmo.
Este paradoxo causou muita consternação entre os matemáticos. Imagine alguém provando que um número pode ser simultaneamente par e ímpar; é igualmente preocupante. Foram encontradas maneiras de contornar o paradoxo – essencialmente redefinindo a teoria dos conjuntos.
Já foi dito que o problema com a percepção que as pessoas têm do universo é que nossos cérebros estão acostumados apenas a lidar com pequenos números, distâncias curtas e breves períodos de tempo. O número de Graham é grande o suficiente para fazer o cérebro da maioria das pessoas começar a ferver; é muito grande; para contextualizar, vejamos alguns dos chamados grandes números:
A maioria das pessoas já ouviu falar de um googol – para a maioria dos propósitos é um número grande – 10^100 que é 1 seguido de 100 zeros.
Existem números muito maiores por aí; um googolplex é 1 seguido por um googol zeros e o matemático Stanley Skewes definiu números muito maiores que um googolplex.
Para contextualizar, o menor deles (o googol) ainda é muito maior que o número de partículas no universo (cerca de 10 ^ 87).
No entanto, o número de Graham derruba estas “crianças” – foi usado por Ronald Graham no seu (para mim) incompreensível trabalho sobre hipercubos multidimensionais (é o limite superior de uma das soluções). Basta dizer que é muito maior que os números de Skewes e, na verdade, o universo não é grande o suficiente para armazenar a versão impressa. Mesmo que cada dígito fosse do tamanho de um elétron. Nem mesmo perto.
O que é verdadeiramente maravilhoso sobre o número de Graham é que é possível calcular os últimos dígitos e sabemos que termina em 7.
Coisa Incognoscível: Qual é o menor número inteiro positivo não definível em menos de onze palavras?
Este é um problema na filosofia da matemática. Só para deixar as coisas um pouco mais claras – um número inteiro é um número inteiro (1, 2, 3 etc.), e para números inteiros menores, é fácil defini-los em palavras:
“O quadrado de 2”= 4
“Um a mais que 4” = 5
…e assim por diante. Agora, como um experimento mental – considere quantas sentenças de onze palavras existem – obviamente há muitas; mas há apenas um número finito de palavras (cerca de 750.000 em inglês), então há apenas um número finito de sentenças de onze palavras – em algum momento, você acabaria e haveria um número inteiro que você não poderia definir. Exceto que “O menor número inteiro positivo não definível em menos de onze palavras” contém apenas dez palavras, então você pode defini-lo em menos de onze palavras.
Isso é chamado de paradoxo de Berry e, na verdade, é uma espécie de “prestidigitação” com a linguagem – estamos sutilmente passando da nomeação de números para a descrição deles, mas ainda assim ninguém consegue inventar esse número!
Coisa incognoscível: um programa de computador algum dia irá parar?
Quando eu assistia às aulas de Matemática Pura na escola, era uma reclamação comum de que o que estávamos aprendendo era “inútil”. Infelizmente, o professor simplesmente respondeu “você está aprendendo isso porque está no plano de estudos”. O problema da parada de Turing parece uma perda de tempo totalmente acadêmica e inútil. Exceto que levou ao desenvolvimento de computadores digitais.
Alan Turing foi um matemático inglês e uma criança prodígio, principalmente em matemática. Seu trabalho com máquinas computacionais foi inicialmente inteiramente teórico; ele estava trabalhando na ideia de descrever declarações matemáticas inteiramente numericamente para que pudessem ser processadas por uma máquina de computação teórica. Ele idealizou o conceito de uma máquina de computação de uso geral (agora chamada de Máquina de Turing) como um experimento mental – ele não imaginou alguém realmente construindo uma.
Ele raciocinou que um programa de computador deve funcionar para sempre ou parar. Ele provou que é impossível determinar automaticamente o que irá acontecer – eu sei que você pode argumentar que poderia “executar o programa e ver o que acontece” – mas supondo que ele só pare após 7 trilhões de anos?
Um pouco mais sobre Turing: sua linha de raciocínio é particularmente notável porque ele o fez em 1936 – anos antes da construção do primeiro computador digital. A Segunda Guerra Mundial começou em 1939, mas Turing já vinha trabalhando na decifração de códigos em Bletchley Park um ano antes disso; tentando decifrar o código Enigma alemão. Ficou claro que uma abordagem “manual” era muito lenta e Turing especificou a primeira máquina de decodificação (chamada Bombe), o que levou ao Colossus – possivelmente o primeiro computador digital programável que poderia executar automaticamente muitas “chaves” possíveis. Seu trabalho foi tão importante para decifrar que muita coisa permaneceu em segredo muito depois do fim da guerra; alguns só foram publicados este ano – 60 anos depois de terem sido escritos.
Coisa Incognoscível: Existem números que não podem ser computados.
Este é outro quebra-cabeças comprovado por Alan Turing. Para começar, existe mais de um “infinito”. Por exemplo, quantos números inteiros positivos existem? Ora, existem infinitos – eles nunca param. Quantos números pares positivos existem? O mesmo – se você duplicar um número inteiro positivo, obterá um número par correspondente, portanto deve haver o mesmo número.
Ok, quantos números reais existem? Os números reais incluem todas as frações, números irracionais (como pi) e números inteiros (positivos ou negativos). Bem, há muito mais do que números inteiros – entre cada número inteiro, há um número infinito de números reais; então o número de números reais é um infinito muito maior que o número de números inteiros.
Com este conceito firmemente estabelecido; você pode raciocinar assim:
Suponha que você comece a escrever programas de computador para gerar números reais, um para cada número real.
Você conta cada programa; o primeiro é “1”, o segundo, “2” e assim por diante – ao contar, você usa números inteiros positivos.
O problema é que embora você esteja feliz em escrever um número infinito de programas, esse infinito é muito menor que o número infinito de números reais, então deve haver muitos (na verdade, a maioria) números reais faltando – isso não pode ser calculado.
Coisa Incognoscível: Em matemática, existem coisas verdadeiras que não podem ser provadas como verdadeiras – e não sabemos o que são.
Este teorema que prejudica o cérebro foi desenvolvido por Kurt Gödel. O conceito remonta a 1900, quando David Gilbert propôs 23 “problemas” em matemática que ele gostaria de ver resolvidos no próximo século. Um problema era provar que a matemática era consistente – o que seria muito bom saber. No entanto, em 1901, Gödel explodiu isso com seu teorema da incompletude – não vou entrar em detalhes sobre o teorema aqui, em parte porque não entendo todos os detalhes, mas principalmente porque precisei de três palestras separadas antes Eu até senti que estava chegando lá, então se você estiver interessado: a Wikipedia é sua amiga!
Em resumo, o teorema mostra que não se pode provar que a matemática é consistente usando apenas matemática (seria necessário usar uma “metalinguagem”). Além disso, ele também mostrou que existem coisas verdadeiras na matemática que não podem ser provadas como verdadeiras.
Quando aprendi o teorema, foi sugerido que o famoso Último Teorema de Fermat poderia ser uma “coisa verdadeira que não pode ser provada como verdadeira”, mas isso foi estragado como exemplo quando Andrew Wiles provou que era verdade em 1995. No entanto, aqui Há algumas coisas que podem ser verdadeiras, mas não comprováveis:
“Não existe número ímpar perfeito.”
Um número perfeito é um número inteiro positivo cujos divisores somam ele mesmo. Por exemplo, 6 é um número perfeito – 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.
28 é o próximo número perfeito. Os números perfeitos ocorrem raramente e até agora apenas 41 números perfeitos foram encontrados. Ninguém sabe quantos são – mas está entre 41 e o infinito!
Até agora, todos os números perfeitos foram pares, mas, novamente, ninguém sabe se ainda existe um número ímpar, mas se houver, é um número muito grande; maior que 10^1500 – (1 com 1500 zeros depois).
“Todo número par é a soma de dois primos.”
Um número primo só é divisível por si mesmo ou por 1 e é curioso que, até agora, todo número par testado é a soma de dois deles – por exemplo: 8 = 5+3 ou 82 = 51 + 31. Novamente , sabe-se que isso é verdade para muitos números (até cerca de 10 ^ 17) e também se sabe que quanto maior for um número, maior será a probabilidade de ele ser primo, então parece mais provável quanto mais alto você chegar, mas quem pode dizer que não existe um número par realmente grande onde isso não seja verdade?
Ainda no mundo da demonstrabilidade, chegamos ao teorema da indefinibilidade de Tarksi, mas para atormentar, aqui está algo sobre o pano de fundo de Tarksi.
Ele era filho de pais judeus, nascido na Polônia antes da guerra e teve muita sorte. Ele nasceu Alfred Teitelbaum em 1901. Havia um anti-semitismo generalizado na Polónia pré-guerra e em 1923 Alfred e o seu irmão mudaram o apelido para “Tarski” – um nome que inventaram porque “soava mais polaco”. Eles também mudaram sua religião de judaica para católica romana – embora Alfredo fosse na verdade ateu.
No final da década de 1930, Tarski candidatou-se a vários cargos de professor na Polónia, mas foi recusado – felizmente, como se viu. Em 1939, ele foi convidado para discursar em uma conferência nos Estados Unidos, à qual provavelmente não teria comparecido se tivesse recentemente assumido o cargo de professor. Tarski apanhou o último navio a deixar a Polónia antes da invasão alemã no mês seguinte. Ele não pensava que estava a “fugir” da Polónia – deixou os seus filhos para trás pensando que regressaria em breve. Seus filhos sobreviveram à guerra e se reuniram em 1946, embora a maior parte de sua família tenha sido morta pelos ocupantes alemães.
De volta ao teorema: Tarski provou que a verdade aritmética não pode ser definida em aritmética. Ele também estendeu isto a qualquer sistema formal; A “verdade” para esse sistema não pode ser definida dentro do sistema.
É possível definir a verdade para um sistema num sistema mais forte; mas é claro que não se pode definir a verdade nesse sistema mais forte, teríamos de passar para um sistema ainda mais forte – e assim por diante, procurando indefinidamente a verdade inalcançável.
Coisa Incognoscível: Onde está essa partícula e com que velocidade ela está indo?
Deixamos o mundo da matemática, que prejudica o cérebro, mas, infelizmente, entramos no mundo ainda mais incompreensível do córtex da física quântica. O princípio da incerteza surgiu ao estudar partículas subatômicas e mudou a forma como vemos o universo. Quando eu estava na escola, aprendemos que um átomo era como um mini sistema solar com um núcleo semelhante ao Sol no meio, com elétrons orbitando, e os elétrons eram como pequenas bolinhas de gude.
Isto é tão errado – e uma das principais descobertas ao longo do caminho para mostrar isso foi o princípio da incerteza de Heisenberg. Werner Heisenberg foi um físico teórico alemão que trabalhou em estreita colaboração com o físico dinamarquês Niels Bohr na década de 1920. O raciocínio de Heisenberg é assim:
Como faço para descobrir onde está uma partícula? Tenho que olhar para ele, e para olhar tenho que iluminá-lo. Para iluminá-lo, tenho que disparar fótons contra ele. Quando um fóton atinge a partícula, a partícula será movida pelos fótons – então, ao tentar medir sua posição, eu mudo sua posição.
Tecnicamente, o princípio diz que não é possível conhecer a posição e o momento de uma partícula simultaneamente. Isto é semelhante, mas não igual ao efeito “observador” na experimentação, onde existem algumas experiências cujos resultados mudam dependendo de como são observados. O princípio da incerteza tem bases matemáticas muito mais sólidas e, como mencionei, mudou a forma como o universo é visto (ou como o universo dos muito pequenos é visto). Os elétrons são agora considerados funções de probabilidade e não partículas; podemos calcular onde é provável que estejam, mas não onde estão – na verdade, podem estar em qualquer lugar.
O princípio da incerteza foi bastante controverso quando foi anunciado; Einstein disse a famosa frase que “Deus não joga dados com o universo”, e foi nessa época que começou a divisão na física que separou a mecânica quântica – que estuda o muito pequeno e a macrofísica que estuda objetos e forças maiores. Essa divisão ainda precisa ser resolvida.
A constante de Chaitin é um exemplo do que parece normal e sensato para um matemático, mas parece loucura para o resto de nós. A constante de Chaitin é a probabilidade de um programa de computador aleatório parar. O que é louco nisso (na verdade, uma das poucas coisas), é que existe uma constante diferente para cada programa, então há um número infinito de valores para essa “constante” – que geralmente é mostrada como um ômega grego (Ω) . A outra coisa um pouco maluca sobre isso é que não é possível determinar o que é Ω – é um número incomputável, o que é uma pena – se pudéssemos calcular Ω, então foi demonstrado que a maioria dos problemas não comprovados em matemática poderiam realmente ser provados ( ou refutado).
Até agora, descrevemos coisas que sabemos serem incognoscíveis (se isso faz sentido). Contudo, o item final descreve coisas que podem ser verdadeiras, mas que não podem ser conhecidas. Você pode pensar que seria difícil encontrar um exemplo, mas considere o seguinte:
Vivemos num universo em expansão; quando olhamos para outras galáxias elas estão se afastando de nós e acelerando. Agora, num futuro distante (daqui a cerca de 2 biliões de anos) todas as outras galáxias estarão tão distantes que não serão observáveis (tecnicamente, estarão a mover-se tão rapidamente que a luz será esticada em raios gama com comprimentos de onda maiores que a largura do universo). Então, se você fosse um astrônomo daqui a 2 trilhões de anos, não haveria como saber que existem bilhões de outras galáxias no universo – e se alguém sugerisse isso, você riria ironicamente e diria “mostre-me a evidência; você não tem nada.”
Então, tendo isto em mente, voltemos aos dias de hoje – pode haver coisas verdadeiras sobre o universo que nunca poderemos saber. Gole!
Coisa Incognoscível: Existe alguma pessoa desinteressante?
É bastante fácil argumentar que não existem pessoas desinteressantes:
Considere fazer uma lista de pessoas desinteressantes; uma dessas pessoas será a mais jovem – e ser a pessoa mais jovem e desinteressante é, por si só, interessante – por isso devem ser removidas da lista. Agora há uma nova pessoa mais jovem e desinteressante, e ela também pode ser removida da lista, e assim por diante – até que a lista fique vazia. Então, se você encontrar alguém que você acha desinteressante, você deve ter se enganado.
